PENGENALAN MATRIKS DAN CARA MENGUBAH SISTEM PERSAMAAN LINEAR KE BENTUK MATRIKS

Nah heartland bestie , kita pasti pernah ya ngadepin masalah yang berkaitan dengan angka dan data. Contoh kecilnya aja, saat kita dan teman-teman kita mau makan bareng nih. Biasanya kan, biar nggak ribet dan lupa, semua pesanan dicatat di kertas, ya. Tapi, kalo pesanannya banyak dan ribet, lumayan ngebingungin juga nggak sih nyatetnya mau gimana. Mimin bawa contohnya nih heartland bestie.

Kasian nih si tetehnya bisa-bisa mati muda nih heartland bestie haduhhh * emot tepok jidat.

Tau gak heartland bestie sebenernya permasalahan diatas tuh bisa diselesaikan dengan cara yang simpel dan mudah. Penasaran kan? Salah satunya pake tabel. Lihat tabel dibawah ini ya heartland bestie.

Nah kan lebih mudah dimengerti ga sih heartland bestie? Yang paling daebak nya tuh kita bisa bikin yang lebih mudah lagi loh heartland bestie. Kita bisa liat dibawah ini ya hihi.

Urutan dan angka - angkanya sama. Tapi keterangan dan baris kolomnya dihilangkan. Dan disamping angkanya ditambah tanda kurung. Kalo dimatematika sih namanya MATRIKS nih heartland bestie. Sama kan kaya materi yang bakalan kita pelajari.

1. Pengertian Martiks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.

Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.

2. Ordo dan Elemen Matriks

Matriks itu punya ukuran, heartland bestie. Ukuran matriks disebut ordo. Cara ngukurnya itu dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom pada matriks. Jadi, kalo suatu matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran (berordo) m x n. Supaya lebih sederhana, kita bisa menulisnya dengan Amxn.

Nah, masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks. Elemen-elemen matriks juga ada notasinya sendiri, lho. Kalo matriks dinotasikan dengan huruf kapital, maka elemen-elemen matriks dinotasikan dengan huruf kecil dan diberi indeks yang menyatakan letak baris dan kolomnya.

Misalnya nih, pada matriks A di atas, ordonya adalah 5 x 5, atau bisa kita tulis A5x5. Soalnya, jumlah barisnya ada 5 dan jumlah kolomnya juga ada 5. Untuk elemen-elemen matriks A, bisa dinotasikan dengan aij, menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Supaya kamu nggak bingung, langsung simak contoh di bawah ini aja, yuk!

Kita ambil contoh a11, a12, dan a54, deh.

a11 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-1, nilainya adalah 0.
a12 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-2, nilainya adalah 1.
a54 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-5 kolom ke-4, nilainya adalah 2.

3. Jenis - jenis Matriks

Selain punya ukuran, matriks juga terbagi menjadi beberapa bentuk yang mempunyai sifat khusus. Nah, beberapa jenis matriks khusus yang perlu kamu ketahui di antaranya sebagai berikut:

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri dari satu baris aja. Contohnya,

Kalo kita lihat, matriks A, matriks P, dan matriks Q, semuanya terdiri dari satu baris dan beberapa kolom. Untuk masing-masing ordonya, berarti A1x3, P1x4, dan Q1x5.

b. Matriks Kolom

Kebalikannya dari matriks baris, matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri dari satu kolom aja. Contohnya,

Matriks R, matriks S, dan matriks T sama-sama terdiri dari satu kolom dan beberapa baris. Oleh karena itu, ordo matriksnya adalah R2x1, S3x1, dan T4x1.

c. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama. Itu tandanya, n = m. Karena jumlah baris dan kolomnya sama, maka ordo matriksnya bisa kita tulis menjadi n x n, atau matriks ordo n.

Pada matriks persegi, terdapat diagonal utama, yaitu elemen-elemen matriks yang letak barisnya sama dengan letak kolomnya. Selain diagonal utama, ada juga diagonal samping atau diagonal kedua. Kalo kita tarik garis di sepanjang diagonal utama matriks, maka diagonal samping ini berada di arah sebaliknya.

Nah, berdasarkan contoh di atas, matriks A berordo 2 dengan diagonal utamanya adalah 8 dan 7. Coba deh, kalo matriks B, ordo dan diagonal utamanya apa aja, nih? Jawab di kolom komentar, ya!

d. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contohnya,

Kalo kita perhatikan gambar di atas, elemen-elemen pada diagonal utama matriks Q adalah 3, 8, dan 5. Nah, di luar diagonal utamanya bernilai 0.

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan elemen lainnya bernilai nol. Umumnya, matriks identitas dinotasikan dengan I disertai dengan ordonya. Contohnya,

*hehe ini matriks identitas ya mimin typo

f. Matriks Nol

Sesuai namanya, matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O disertai ordonya. Contohnya,

g. Matriks Segitiga Atas

Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.

h. Matriks Segitiga Bawah

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol. Contoh:

4. Operasi pada Matriks

Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya:

a. Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)

Contoh:

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda.

b. Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

c. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )

Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB

d. Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang harus diperhatikan:

Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana

5. Transpose Matriks

Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara elemen baris dan kolomnya. Jadi, elemen-elemen pada baris akan kita tukar menjadi elemen-elemen pada kolom, atau sebaliknya. Pasti kamu bingung, kan? HAHAHAHAHA…

Yauds, kita langsung simak contoh di bawah ini, deh. Misalnya, kita akan mentranspose matriks A dan B. Maka, matriks transposenya bisa dinotasikan dengan At dan Bt.

Nah, kalo kamu perhatikan kotak warna-warni pada matriks di atas, kamu pasti paham nih dengan polanya. Aku kasih contoh, ya. Coba kamu lihat matriks A dan At! Elemen-elemen baris ke-1 matriks At (yang di kotak merah), itu merupakan pertukaran dari elemen-elemen kolom ke-1 matriks A. Begitu juga dengan elemen-elemen baris ke-2 matriks At (yang di kotak biru), merupakan pertukaran dari elemen-elemen kolom ke-2 matriks A. Paham, ya?

CARA MENGUBAH SISTEM PERSAMAAN LINEAR KE MATRIKS

Penyelesaian persamaan linear dengan matriks, gimana sih cara menyelesaikan persamaan linear dengan matriks ? cara nya apa aja sih ? dengan cara subtitusi, eliminasi saja sudah buat pusing apa lagi dengan cara matriks. Tenang jangan dibuat pusing matematika gak sesulit yang kita bayangkan loh, matematika itu mudah kalau saja kita sudah memahami rumusnya dan sering berlatih. Kembali ke pokok bahasan ya kita akan belajar cara-cara yang ada untuk menyelesaikan persamaan linear dengan matriks.

1. Menyelesaikan SPLDV dengan Matriks

Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear (SPL) dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Selanjutnya, langsung ke langkah-langlah penyelesaian SPLDV yang dapat dilihat di bawah.

Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.

ax + by = c

px + qy = r

Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.

Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut.

Atau juga bisa dengan cara seperti berikut.

Contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang diselesaikan menggunakan matriks dapat dilihat pada pembahasan di bawah.

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear:

2x + y = 5

x + y = 7

Selanjutnya, akan diselesaikan SPLDV di atas menggunakan matriks. Bentuk matriks dari persamaan SPLDV pada soal adalah sebagai berikut.

Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah x = -2 dan y = 9.

2. Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Selanjutnya, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan matriks.

Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, dan z) seperti terlihat pada persamaan di bawah.

ax + by + cz = d

px + qy + rz = s

kx + ly + mz = n

Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut.

Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah.